Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2x+1}{x+1}$．
（1）判斷函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；
（2）求該函數(shù)在區(qū)間[1，3]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可．
（2）通過函數(shù)的單調(diào)性，然后求解閉區(qū)間的函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．             …．（1分）
證明如下：在[1，+∞）上任取x₁，x₂且x₁＜x₂，那么$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{2{x_1}+1}}{{{x_1}+1}}-\frac{{2{x_2}+1}}{{{x_2}+1}}$=$\frac{{2{x_1}{x_2}+{x_2}+2{x_1}+1-2{x_1}{x_2}-2{x_2}-{x_1}-1}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$=$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$…..（5分）
因?yàn)閤₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0
又x₁≥1，x₂≥1所以x₁+1＞0，x₂+1＞0
所以$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}＜0$…..（7分）
即f（x₁）-f（x₂）＜0，所以f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．                  …..（8分）
（2）因?yàn)閇1，3]⊆[1，+∞）且f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
所以f（x）在[1，3]上是增函數(shù)，
則$f{（x）_{max}}=f（3）=\frac{7}{4}，f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．