Question

17．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（1）=1，對(duì)于任意的x₁，x₂∈R（x₁≠x₂），都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$．
（1）解關(guān)于x的不等式f（x²-3ax）+f（2a²）＜0；
（2）若f（x）≤m²-2am+1對(duì)所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x²-3ax）+f（2a²）＜0變形為不等式f（x²-3ax）＜-f（2a²）=f（-2a²）⇒（x-2a）（x-a）＜0，分①當(dāng)a＞0，②當(dāng)a=0，③當(dāng)a＜0 三種情況分別求解．
（2）由條件先判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化f（x）_min≤m²-2am+1成立，構(gòu)造函數(shù)g（a）即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）因?yàn)閷?duì)于任意x₁，x₂∈[-1，1]，x₁≠x₂，總有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$．
所以函數(shù)f（x）在[-1，1]上是遞增的奇函數(shù)，
不等式f（x²-3ax）+f（2a²）＜0變形為不等式f（x²-3ax）＜-f（2a²）=f（-2a²）
∴x²-3ax+2a²＜0⇒（x-2a）（x-a）＜0
①當(dāng)a＞0時(shí)，不等式解集為：{x|a＜x＜2a}；
②當(dāng)a=0時(shí)，不等式解集為：∅；
③當(dāng)a＜0時(shí)，不等式解集為：{x|2a＜x＜a}；
（2）所以函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，且f（x）_max=f（1）=1．
所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為t²-2αt-1≥f（x）_max=f（1）=1對(duì)任意的α∈[-1，1]恒成立．
令g（α）=m²-2αm+1，α∈[-1，1]．
只需$\left\{\begin{array}{l}{g（1）={m}^{2}-2m+1≥1}\\{g（-1）={m}^{2}+2m+1≥1}\end{array}\right.$
解得：m=0，或≥2或m≤-2
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為：{m|m=0，或≥2或m≤-2}

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，利用條件判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．，以及利用函數(shù)思想解決不等式恒成立問(wèn)題的基本思路，屬于中檔題．