Question

7．如圖，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥BC，AB=BC=1，PA=AD=2，PA⊥平面ABCD，E為PD中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直線CE與平面PAD所成角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要證明CE∥平面PAB；只需要證明CE與平面PAB內(nèi)的一條直線平行即可．由題意，E為PD中點(diǎn)．取AP中點(diǎn)F，連接EF，BF，證明CE∥BF即可．
（Ⅱ）過(guò)E點(diǎn)作AP平行線交AD于M，連接CM，證明CM垂直平面ADP，那么∠MCE就是直線CE與平面PAD所成角．（作（找），證，算，三步驟都不能少）

解答 解：（1）證明：取PA的中點(diǎn)為F，連接EF、BF，
∵E為PD中點(diǎn)，
∴EF∥AD，且$EF=\frac{1}{2}AD$，
又∵BC∥AD，$BC=\frac{1}{2}AD$，
所以：BC${\;}_{=}^{∥}$EF，
因此：四邊形BCEF為平行四邊形，
所以：CE∥BF，
又∵CE?平面PAB，BF?平面PAB，
所以：CE∥平面PAB．
得證．
（2）過(guò)E點(diǎn)作AP平行線交AD于M，連接CM、EM．
∵PA⊥平面ABCD，E為PD中點(diǎn)，
∴M為AD的中心，則有BC${\;}_{=}^{∥}$AM，所以四邊形ABCM是平行四邊形，AB∥CM，CM⊥AD，
CM?平面ABCD，所以PA⊥CM，
又∵AM∩PA=A，CM⊥平面PAB
∴CM⊥EM，
那么∠MCE就是直線CE與平面PAD所成角．
又∵PA=2，E、M分別為PD、AD的中點(diǎn)，
∴CM=EM=1，所以∠ECM=45°，
故直線CE與平面PAD所成角為45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的證明方法，即只需要證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行即可．同時(shí)考查了線面角的求法，必須具備有三步驟：作（找），證，算，三步驟，一步都都不能少．利用中點(diǎn)作輔助線是解本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．