Question

18．如圖，在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，動(dòng)圓⊙Q的半徑為1，圓心在線段CD（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，P為⊙Q上及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AF}$（m，n∈R），則m+n的取值范圍是[2，5]．

Answer 1

分析 當(dāng)圓心在C處時(shí)，P為圓Q與BC的交點(diǎn)時(shí)，m+n最小，當(dāng)圓心在D處，P在AD延長線與圓的交點(diǎn)時(shí)，m+n最大，分別求出兩種情況對應(yīng)的m，n即可得出m+n的最值．

解答 解：如圖所示，
①設(shè)點(diǎn)O為正六邊形的中心，則$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF}$．
當(dāng)動(dòng)圓Q的圓心經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，與邊BC交于點(diǎn)P，點(diǎn)P為邊BC的中點(diǎn)．連接OP，
則$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OP}$，
∵$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{FB}$共線，∴存在實(shí)數(shù)t，使得$\overrightarrow{OP}$=t$\overrightarrow{FB}$．
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AO}$+t$\overrightarrow{FB}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF}$+t（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AF}$）=（1+t）$\overrightarrow{AB}$+（1-t）$\overrightarrow{AF}$，
此時(shí)m+n=1+t+1-t=2，取得最小值．
②當(dāng)動(dòng)圓Q的圓心經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，取AD的延長線與⊙Q的交點(diǎn)P時(shí)．
$\overrightarrow{AP}$=$\frac{5}{2}$$\overrightarrow{AO}$=$\frac{5}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF}$）=$\frac{5}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{5}{2}$$\overrightarrow{AF}$，
此時(shí)m+n=$\frac{5}{2}+\frac{5}{2}$=5取得最大值．
因此m+n的取值范圍是[2，5]．
故答案為[2，5]．

點(diǎn)評 本題考查了向量的平行四邊形法則、向量的運(yùn)算、平面向量的基本定理、正六邊形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．