Question

已知a，b，c都是正實數，求證（1）

a2

b

≥2a-b，(2)

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c．

Answer 1

分析：（1）利用分析法證明，由于a，b，c都是正實數，所以最終只需要證明：（a-b）²≥0；
（2）根據不等式特點，先利用基本不等式證明b+

a2

b

≥ 2a，c+

b2

c

≥ 2b，a+

c2

a

≥ 2c，從而得證．

解答：證明：（1）要證

a2

b

≥2a-b
即證：a²≥2ab-b²
即證：（a-b）²≥0
顯然成立，故得證；
（2）∵a，b，c都是正實數，
∴b+

a2

b

≥ 2a，c+

b2

c

≥ 2b，a+

c2

a

≥ 2c
相加，化簡得

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c．

點評：本題以證明不等式為載體，考查分析法，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．