Question

已知變量x，y滿足

x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y-2≤0

，則u=

3x+y

x+1

的值范圍是（　�。�

• A．[

  5

  2

  ，

  14

  5

  ]
• B．[-

  1

  2

  ，-

  1

  5

  ]
• C．[-

  1

  2

  ，

  5

  2

  ]
• D．[-

  5

  2

  ，

  14

  5

  ]

Answer 1

分析：化簡(jiǎn)得u=3+

y-3

x+1

，其中k=

y-3

x+1

表示P（x，y）、Q（-1，3）兩點(diǎn)連線的斜率．畫(huà)出如圖可行域，得到如圖所示的△ABC及其內(nèi)部的區(qū)域，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P得到PQ斜率的最大、最小值，即可得到u=

3x+y

x+1

的值范圍．

解答：解：∵u=

3x+y

x+1

=3+

y-3

x+1

，
∴u=3+k，而k=

y-3

x+1

表示直線P、Q連線的斜率，
其中P（x，y），Q（-1，3）．
作出不等式組

x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y-2≤0

表示的平面區(qū)域，
得到如圖所示的△ABC及其內(nèi)部的區(qū)域
其中A（1，2），B（4，2），C（3，1）
設(shè)P（x，y）為區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P，
可得當(dāng)P與A點(diǎn)重合時(shí)，k_PQ=-

1

2

達(dá)到最小值；當(dāng)P與B點(diǎn)重合時(shí)，k_PQ=-

1

5

達(dá)到最大值
∴u=3+k的最大值為-

1

5

+3=

14

5

；最小值為-

1

2

+3=

5

2

因此，u=

3x+y

x+1

的值范圍是[

5

2

，

14

5

]
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出二元一次不等式組，求u=

3x+y

x+1

的取值范圍．著重考查了直線的斜率公式、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于中檔題．