若函數(shù)f（x）=|sinx|（x≥0）的圖象與過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)有且只有三個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)中橫坐標(biāo)的最大值為α，則
(1+α2)sin2αα
=
 
．
分析：先根據(jù)題意畫(huà)圖，然后令切點(diǎn)為A（α，-sinα），α∈（π，
3π
2
），在（π，
3π
2
）上，根據(jù)切線(xiàn)的斜率等于切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)建立等式關(guān)系，即可求出α=tanα，代入所求化簡(jiǎn)即可求出所求．
解答：解：函數(shù)f（x）=|sinx|（x≥0）與直線(xiàn)有且只有三個(gè)交點(diǎn)如圖所示，
令切點(diǎn)為A（α，-sinα），α∈（π，
3π
2
），在（π，
3π
2
）上，f'（x）=-cosx
∴-cosx=-
sinα
α
即α=tanα，
故
(1+α2)sin2α
α
=
(1+tan2α)sin2α
tanα
=
sin2α
sinαcosα
=2
故答案為：2
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程，以及三角函數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

有以下五個(gè)命題
①設(shè)a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)P（x0，f（x0））處切線(xiàn)的傾斜角的取值范圍為[0，
π
4
]，則點(diǎn)P到曲線(xiàn)y=f（x）對(duì)稱(chēng)軸距離的取值范圍為[0，
1
2a
]；
②一質(zhì)點(diǎn)沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過(guò)t稱(chēng)后的位移為s=
1
3
t3-
3
2
t2+2t，那么速度為零的時(shí)刻只有1秒末；
③若函數(shù)f（x）=loga（x3-ax）（a＞0，且a≠1）在區(qū)間(-
1
2
，0)內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是[
3
4
，1)；
④定義在R上的偶函數(shù)f（x），滿(mǎn)足f（x+1）=-f（x），則f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)；
⑤函數(shù)y=f（x-2）和y=f（2-x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)．其中正確的有
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)y=
1
x
的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0）∪（0，+∞）；
②函數(shù)y=x2-4x+6，當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇3，6]；
③函數(shù)y=3（x-1）2的圖象可由y=3x2的圖象向右平移1個(gè)單位得到；
④若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，2]，則函數(shù)f（2x）的定義域?yàn)閇0，1]；
⑤若A={s|s=x2+1}，B={y|x=
y-1
}，則A∩B=A．
其中正確命題的序號(hào)是
③④⑤
③④⑤
．（填上所有正確命題的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)：f(x)=
x-a+1
a-x
（a為常數(shù)）．
（1）當(dāng)f（x）的定義域?yàn)閇a+
1
2
，a+1]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）試問(wèn)：是否存在常數(shù)m使得f（x）+f（m-x）+2=0對(duì)定義域內(nèi)的所有x都成立；若有求出m，若沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）如果一個(gè)函數(shù)的定義域與值域相等，那么稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為“自對(duì)應(yīng)函數(shù)”．若函數(shù)f（x）在[s，t]（a＜s＜t）上為“自對(duì)應(yīng)函數(shù)”時(shí)，求實(shí)數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+ax和g（x）=x-a．其中a∈R且a≠0．
（1）若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)恰好在x軸上，求a的值；
（2）若函數(shù)f（x）與g（x）圖象相交于不同的兩點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試問(wèn)：△OAB的面積S有沒(méi)有最值？如果有，求出最值及所對(duì)應(yīng)的a的值；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若函數(shù)f（x）在[0，1]上滿(mǎn)足：對(duì)于任意的s，t∈[0，1]，λ＞0，都有
f(s)+λf(t)
1+λ
＜f(
s+λt
1+λ
)，則稱(chēng)f（x）在[0，1]上為凸函數(shù)．在三個(gè)函數(shù)f1（x）=x+1，f2（x）=ex-1，f3（x）=lg
x+1
中，在[0，1]上是凸函數(shù)的有
f3（x）=lg
x+1
f3（x）=lg
x+1
（寫(xiě)出您認(rèn)為正確的所有函數(shù)）．

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