Question

【題目】已知函數(shù)，其中

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若對(duì)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，沒有增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（2）.

【解析】分析：（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)先求函數(shù)的定義域。函數(shù)的定義域?yàn)?/span>。。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，令，則。因?yàn)槎�義域?yàn)?/span>，所以。解此不等式和的正負(fù)有關(guān)。

故分和 兩種情況討論。當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，進(jìn)而可得在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，由，可得，進(jìn)而得。所以當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，進(jìn)而可得在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。

（Ⅱ）由對(duì)成立可得對(duì)成立，分離變量可得時(shí)，恒成立。構(gòu)造函數(shù)，只需即可，所以求導(dǎo)可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求其最大值，可得實(shí)數(shù)的取值范圍.

詳解：（Ⅰ）定義域?yàn)?/span>，，

當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，由得，

當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，

∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，沒有增區(qū)間.

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（Ⅱ）化為，∴時(shí)，，

令，∴，

當(dāng)時(shí)，，∴.

∴在上是減函數(shù)，∴即.