Question

【題目】如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長為，一雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，且它的實(shí)軸長等于虛軸長，設(shè)為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為和，其中在軸的同一側(cè).

（1）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在題設(shè)中的點(diǎn)，使得？若存在， 求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由橢圓定義可得 ，再結(jié)合離心率為 ，解出，，由雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，得,再根據(jù)實(shí)軸長等于虛軸長得（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式表示直線AB,CD方程,利用韋達(dá)定理及弦長公式求；根據(jù)橢圓性質(zhì)確定直線AB,CD斜率關(guān)系，根據(jù)焦點(diǎn)三角形求向量夾角，綜合條件可解得P點(diǎn)坐標(biāo)

試題解析：解：（1）由題意知，橢圓離心率為 ，得，又 ，所以可解得， ，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）設(shè)，則，在雙曲線上，，設(shè) 方程為，

的方程為，設(shè)，則

，

，

同理，， 由題知，

，.

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