Question

15．已知函數(shù)f（x）=sinx（sinx+$\sqrt{3}$cosx）．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$）=1，a=2$\sqrt{3}$，求三角形ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式化簡(jiǎn)f（x）；
（2）求出A，根據(jù)余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入面積公式即可．

解答 解：（1）f（x）=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，f（x）的最大值是$\frac{3}{2}$．
（2）∵f（$\frac{A}{2}$）=sin（A-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=1，∴sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
∵a²=b²+c²-2bccosA，∴12=b²+c²-bc，∴b²+c²=12+bc≥2bc，∴bc≤12．
∴S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤3$\sqrt{3}$．
∴三角形ABC面積的最大值是3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)，解三角形，屬于中檔題．