Question

20．（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}$）ⁿ的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為1：3．
（1）求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；
（2）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）由條件可得$\frac{{C}_{n}^{3}}{{C}_{n}^{4}}$=$\frac{1}{3}$，由此求得n的值．
（2）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求得二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答 解：（1）∵${（\sqrt{x}+\frac{1}{x}）^n}$的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為1：3，即$\frac{{C}_{n}^{3}}{{C}_{n}^{4}}$=$\frac{1}{3}$，
求得n=15．
（2）根據(jù)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{15}^{r}$•${x}^{\frac{15-3r}{2}}$，可得當(dāng)r=7或8時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)${C}_{15}^{r}$取得最大值，
故展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T₈=${C}_{15}^{7}$•x^-3，T₉=${C}_{15}^{8}$•為${C}_{15}^{5}$．${x}^{-\frac{9}{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．