Question

已知tan（

π

4

+α）=2，求：
（1）tanα的值；
（2）sin2α+sin²α+cos2α的值．

Answer 1

分析：（1）直接利用兩角和的正切公式，化簡tan（

π

4

+α）=2，求出tanα的值．
（2）法一：利用齊次式分母1，利用平方關(guān)系，分子、分母同除cos²α，得到關(guān)于tanα表達式，利用（1）的結(jié)論求解即可．
法二：利用二倍角公式，把sin2α+sin²α+cos2α化為：2sinαcosα+cos²α，通過（1）的結(jié)果，求出sinα，cosα的值，分象限，解出2sinαcosα+cos²α的值即可．

解答：（1）解：tan（

π

4

+α）=

1+tanα

1-tanα

=2，
∴tanα=

1

3

．
（2）解法一：sin2α+sin²α+cos2α=sin2α+sin²α+cos²α-sin²α
=2sinαcosα+cos²α
=

2sinαcosα+cos2α

1

=

2sinαcosα+cos2α

sin2α+cos2α

2sinαcosα+cos2α

sin2α+cos2α

=

2tanα+1

tan2α+1

=

3

2

．

解法二：sin2α+sin²α+cos2α=sin2α+sin²α+cos²α-sin²α
=2sinαcosα+cos²α．①
∵tanα=

1

3

，
∴α為第一象限或第三象限角．
當α為第一象限角時，sinα=

1

10

，cosα=

3

10

，代入①得
2sinαcosα+cos²α=

3

2

；
當α為第三象限角時，sinα=-

1

10

，cosα=-

3

10

，代入①得
2sinαcosα+cos²α=

3

2

．
綜上所述sin2α+sin²α+cos2α=

3

2

．

點評：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計算能力，公式的熟練程度決定解題能力．