Question

19．設(shè)f（x）=$\frac{{e}^{|x|}+x+1}{{e}^{|x|}+1}$在區(qū)間[-m，m]（m＞0）上的最大值為p，最小值為q，則p+q=（　　）

• A． 4
• B． 3.5
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-1，易判斷g（x）為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可求得g（x）最大值與最小值的和，從而可得f（x）的最大值與最小值的和．

解答 解：f（x）=1+$\frac{x}{{e}^{|x|}+1}$，令g（x）=f（x）-1=$\frac{x}{{e}^{|x|}+1}$，x∈[-m，m]（m＞0），
g（-x）=$\frac{-x}{{e}^{|-x|}+1}$=-g（x），所以g（x）為奇函數(shù)．
當(dāng)x∈[-m，m]時，設(shè)g（x）_max=g（x₀），即[f（x）-1]_max=g（x₀），所以f（x）_max=1+g（x₀）；
又g（x）是奇函數(shù)，所以g（x）_min=-g（x₀），即[f（x）-1]_min=-g（x₀），所以f（x）_min=1-g（x₀），
所以p+q=[1+g（x₀）]+[1-g（x₀）]=2．
故選：D．

點評 本題考查了閉區(qū)間上函數(shù)的最值、函數(shù)的奇偶性，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)特點恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)，充分利用函數(shù)性質(zhì)