Question

16．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4sinθ，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，能求出直線l的普通方程；曲線C的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為ρ²=4ρsinθ，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（2）在曲線C上任取一點(diǎn)P（2cosθ，2+2sinθ），利用點(diǎn)到直線的距離公式及三角函數(shù)性質(zhì)能求出曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離最大值．

解答 （10分）
解：（1）∵直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
∴直線l消去參數(shù)t得：$\sqrt{3}x-y=-6$，
∴直線l的普通方程為$\sqrt{3}x-y+6=0$，（2分）
∵曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4y，即x²+（y-2）²=4．（5分）
（2）在曲線C上任取一點(diǎn)P，可設(shè)其坐標(biāo)為P（2cosθ，2+2sinθ），（7分）
P到直線l的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ-2sinθ-2+6|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{|4cos（θ+\frac{π}{6}）+4|}{2}$=2cos（$θ+\frac{π}{6}$）+2≤4，（9分）
當(dāng)且僅當(dāng)$θ=-\frac{π}{6}$+2kπ（k∈Z）時等號成立，
曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離最大值為4．（10分）

點(diǎn)評 本題考查直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值的求法，考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程的互化、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．