Question

10．（1）若a是正實(shí)數(shù)，2a²+3b²=10，求a$\sqrt{2+^{2}}$的最大值．
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+1}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由a是正實(shí)數(shù)，2a²+3b²=10，變形為2a²+3（b²+2）=16，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（2）利用$（\sqrt{a+\frac{1}{2}}+\sqrt{b+1}）^{2}$≤2$（a+\frac{1}{2}+b+1）$，即可得出．

解答 解：（1）∵a是正實(shí)數(shù)，2a²+3b²=10，變形為2a²+3（b²+2）=16，∴16≥2$\sqrt{2{a}^{2}×3（^{2}+2）}$=$2\sqrt{6}$$•a\sqrt{^{2}+2}$，可得a$\sqrt{2+^{2}}$≤$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)2a²=3（b²+2）=8，即a=2，b²=$\frac{2}{3}$時(shí)取等號(hào)．
∴a$\sqrt{2+^{2}}$的最大值為$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
（2）∵$（\sqrt{a+\frac{1}{2}}+\sqrt{b+1}）^{2}$≤2$（a+\frac{1}{2}+b+1）$=5，∴$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+1}$$≤\sqrt{5}$．當(dāng)且僅當(dāng)a+$\frac{1}{2}$=b+1=$\frac{5}{4}$，即a=$\frac{3}{4}$，b=$\frac{1}{4}$時(shí)取等號(hào)，
∴$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+1}$的最大值是$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了變形能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．