Question

6．已知數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，S_n為其前n項(xiàng)和，且滿足a_n²=S_2n-1，b_n=$\frac{1}{a{{\;}_{n}a}_{n+1}}$．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和T_n；
（2）在數(shù)列{b_n}中，是否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n依次成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)遞推關(guān)系求出a₁，a₂，即可求出公差，整理后可求得a_n，代入利用裂項(xiàng)法求得T_n．
（2）根據(jù)（1）中求得T_n分別表示出T₁，T_m，T_n根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)建立等式，化簡整理即可求得m的范圍，進(jìn)而根據(jù)m和n均為正整數(shù)求得m，進(jìn)而n

解答 解：（1）：n=1時(shí)，${a}_{1}^{2}={S}_{1}={a}_{1}$≠0，解得a₁=1．
n=2時(shí)，${a}_{2}^{2}={S}_{3}$，∴（1+d）²=3+3d，解得d=2或-1．
d=-1時(shí)，a₂=0，舍去．
∴d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
b_n=$\frac{1}{a{{\;}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
由T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
（2）由（1）知，T_n=$\frac{n}{2n+1}$，
∴T₁=$\frac{1}{3}$，T_m=$\frac{m}{2m+1}$，
若T₁，T_m，T_n依次成等比數(shù)列，
則（$\frac{m}{2m+1}$）²=$\frac{1}{3}$•$\frac{n}{2n+1}$，
整理可得$\frac{3}{n}$=$\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$
∴-2n²+4m+1＞0，
解得1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜m＜1+$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
又m∈N，且m＞1，
所以m=2，此時(shí)n=12．
故可知：當(dāng)且僅當(dāng)m=2，n=12使數(shù)列{T_n}中的T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．