Question

20．已知△ABC中cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，O為△ABC內(nèi)心，2$\sqrt{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\sqrt{10}$$\overrightarrow{OB}$+m$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則m=（　�。�

• A． 5$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 3$\sqrt{10}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 求出sinA，sinB，利用兩角和的余弦公式計(jì)算cosC，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得出a$\overrightarrow{OA}$+b$\sqrt{10}$$\overrightarrow{OB}$+c$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，令a=2$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{10}$，則用余弦定理計(jì)算c即為m的值．

解答 解：∵cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，∴sinA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
不妨設(shè)a=2$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{10}$，則c²=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}-2abcosC}$=5$\sqrt{2}$．
∵O為△ABC內(nèi)心，∴a$\overrightarrow{OA}$+b$\sqrt{10}$$\overrightarrow{OB}$+c$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，即2$\sqrt{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\sqrt{10}$$\overrightarrow{OB}$+c$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．
∴m=c=5$\sqrt{2}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)，余弦定理，屬于中檔題．