20．已知△ABC中cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，O為△ABC內心，2$\sqrt{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\sqrt{10}$$\overrightarrow{OB}$+m$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則m=（　�。�
A．5$\sqrt{2}$B．2$\sqrt{5}$C．3$\sqrt{10}$D．$\sqrt{10}$

分析 求出sinA，sinB，利用兩角和的余弦公式計算cosC，根據(jù)內心的性質得出a$\overrightarrow{OA}$+b$\sqrt{10}$$\overrightarrow{OB}$+c$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，令a=2$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{10}$，則用余弦定理計算c即為m的值．

解答 解：∵cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，∴sinA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
不妨設a=2$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{10}$，則c2=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}-2abcosC}$=5$\sqrt{2}$．
∵O為△ABC內心，∴a$\overrightarrow{OA}$+b$\sqrt{10}$$\overrightarrow{OB}$+c$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，即2$\sqrt{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\sqrt{10}$$\overrightarrow{OB}$+c$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．
∴m=c=5$\sqrt{2}$．
故選A．

點評 本題考查了三角形內心的性質，余弦定理，屬于中檔題．

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

10．已知函數(shù)f（x）=sinx-cosx，則把函數(shù)f（x）的圖象上每個點的橫坐標擴大到原來的2倍，再向右平移$\frac{π}{3}$，得到函數(shù)g（x）的圖象，則函數(shù)（x）的一條對稱軸方程為（　�。�
A．x=$\frac{π}{6}$B．x=$\frac{11π}{6}$C．x=$\frac{π}{3}$D．x=$\frac{π}{4}$

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11．下列說法正確的是（　　）
A．命題“?x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“?x∈R，x2+2x+3＞0”
B．命題p：“?x∈R，sinx+cosx≤$\sqrt{2}$”，則￢p是真命題
C．“p∧q為真命題”是“p∨q為真命題”的必要不充分條件
D．“a＜1”是“${log_{\frac{1}{2}}}$a＞0”的必要不充分條件

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8．解不等式：$\frac{6}{x-2}$≤x-1．

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15．在二項式（x2-$\frac{1}{x}$）5的展開式中，記x4的系數(shù)為a，則${∫}_{0}^{\frac{a}{10}}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=（　　）
A．$\frac{π}{4}$B．$\frac{π}{2}$C．$\frac{3π}{4}$D．π

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5．已知集合P={x|y=$\frac{1}{\sqrt{4-x}}$}，Q={y|y=log2（x2+4）}，集合P與集合Q所對應的韋恩圖如圖所示，則圖中陰影部分表示的集合是（　�。�
A．{x|2≤x＜4}B．{x|x＜2}C．{x|x≥4}D．{x|x＜2，或x≥4}

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

12．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知3Sn=4an-2，n∈N+
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）Tn是數(shù)列{log2an}的前n項和，求滿足（1-$\frac{1}{{T}_{2}}$）（1-$\frac{1}{{T}_{3}}$）（1-$\frac{1}{{T}_{4}}$）…（1-$\frac{1}{{T}_{n}}$）＞$\frac{51}{100}$的最大正整數(shù)n的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

9．作下列函數(shù)的簡圖：
（1）y=$\frac{1}{2}$（cosx+|cosx|）；
（2）y=sin|x-$\frac{π}{2}$|

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

20．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，tan$\frac{α}{2}=\frac{1}{2}$，cos（β-α）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
（1）求sinα的值；
（2）求sinβ的值．

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