Question

12．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知3S_n=4a_n-2，n∈N₊
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）T_n是數(shù)列{log₂a_n}的前n項(xiàng)和，求滿足（1-$\frac{1}{{T}_{2}}$）（1-$\frac{1}{{T}_{3}}$）（1-$\frac{1}{{T}_{4}}$）…（1-$\frac{1}{{T}_{n}}$）＞$\frac{51}{100}$的最大正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析 （1）由3S_n=4a_n-2，n∈N₊，n=1時，3a₁=4a₁-2，解得a₁=2；當(dāng)n≥2時，化為：a_n=4a_n-1，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）log₂a_n=2n-1．可得數(shù)列{log₂a_n}的前n項(xiàng)和T_n=n²．代入（1-$\frac{1}{{T}_{2}}$）（1-$\frac{1}{{T}_{3}}$）（1-$\frac{1}{{T}_{4}}$）…（1-$\frac{1}{{T}_{n}}$）展開化簡即可得出．

解答 解：（1）由3S_n=4a_n-2，n∈N₊，n=1時，3a₁=4a₁-2，解得a₁=2；當(dāng)n≥2時，3a_n=3（S_n-S_n-1）=4a_n-2-（4a_n-1-2），化為：a_n=4a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為4．
∴a_n=2×4^n-1=2^2n-1．
（2）log₂a_n=2n-1．
∴數(shù)列{log₂a_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
∴（1-$\frac{1}{{T}_{2}}$）（1-$\frac{1}{{T}_{3}}$）（1-$\frac{1}{{T}_{4}}$）…（1-$\frac{1}{{T}_{n}}$）=$（1-\frac{1}{{2}^{2}}）$$（1-\frac{1}{{3}^{2}}）$×…×$（1-\frac{1}{{n}^{2}}）$=$\frac{（2-1）×（2+1）}{{2}^{2}}$×$\frac{（3-1）×（3+1）}{{3}^{2}}$×$\frac{（4-1）×（4+1）}{{4}^{2}}$×…×$\frac{（n-2）（n-1+1）}{（n-1）^{2}}$×$\frac{（n-1）（n+1）}{{n}^{2}}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{（n+1）}{n}$．
∴（1-$\frac{1}{{T}_{2}}$）（1-$\frac{1}{{T}_{3}}$）（1-$\frac{1}{{T}_{4}}$）…（1-$\frac{1}{{T}_{n}}$）＞$\frac{51}{100}$即為：$\frac{n+1}{2n}$＞$\frac{51}{100}$，化為：n＜50，
因此滿足（1-$\frac{1}{{T}_{2}}$）（1-$\frac{1}{{T}_{3}}$）（1-$\frac{1}{{T}_{4}}$）…（1-$\frac{1}{{T}_{n}}$）＞$\frac{51}{100}$的最大正整數(shù)為49．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、乘法公式、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．