Question

2．已知函數(shù)f（x）=log_a（3-ax）．
（1）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)f（x）恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，且最大值為2，求出實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，3-ax＞0恒成立．分類求出a的范圍，再由a＞0且a≠1取交集得答案；
（2）由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得a＞1，再由函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，且最大值為2列關(guān)于a的不等式組求解．

解答 解：（1）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)f（x）恒有意義，則a＞0且a≠1，且當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，3-ax＞0恒成立．
由3-ax＞0，當(dāng)x=0時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a恒成立；
當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，不等式化為a$＜\frac{3}{x}$，則a$＜\frac{3}{2}$．
綜上，a的范圍為：0＜a＜$\frac{3}{2}$且a≠1；
（2）∵a＞0，∴內(nèi)層函數(shù)t=3-ax為減函數(shù)，
要使f（x）=log_a（3-ax）在[1，2]上為減函數(shù)，且最大值為2，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{3-2a＞0}\\{lo{g}_{a}（3-a）=2}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間的求法．對(duì)應(yīng)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一要注意先確定函數(shù)的定義域，二要利用復(fù)合函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行判斷，判斷的依據(jù)是“同增異減”，是中檔題．