Question

12．已知a≥0，函數(shù)f （x）=（x²-2ax）e^x，若f （x）在[-1，1]上是單調(diào)減函數(shù)，則a的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{3}{4}$）
• B． （$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）
• C． （0，$\frac{1}{2}$）
• D． [$\frac{3}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)在[-1，1]上小于等于0恒成立可得x²+2（1-a）x-2a≤0對x∈[-1，1]恒成立．轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式組求解．

解答 解：由f （x）=（x²-2ax）e^x，得f′（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=e^x（x²-2ax+2x-2a）．
∵f （x）在[-1，1]上是單調(diào)減函數(shù)，
∴f′（x）=e^x（x²-2ax+2x-2a）≤0對x∈[-1，1]恒成立．
即x²+2（1-a）x-2a≤0對x∈[-1，1]恒成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}{（-1）^{2}-2（1-a）-2a≤0}\\{{1}^{2}+2（1-a）-2a≤0}\end{array}\right.$，解得a$≥\frac{3}{4}$．
∴a的取值范圍是[$\frac{3}{4}$，+∞）．
故選：D．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．