Question

已知f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，x≥0時，f（x）=x²+4x+3，
（1）求x＜0時函數(shù)的解析式
（2）用定義證明函數(shù)在[0，+∞）上是單調遞增
（3）寫出函數(shù)的單調區(qū)間．

Answer 1

解：（1）x＜0時，-x＞0
∵x≥0時f（x）=x²+4x+3，
∴f（-x）=x²-4x+3（2分）
∵y=f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）（4分）
x＜0時，f（x）=x²-4x+3（6分）
∴f（x）=（8分）
（2）設任意的x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
所以有f（x₁）-f（x₂）=x₁²+4x₁-x₂²-4x₂=（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（x₁+x₂+4），
因為0＜x₁＜x₂，
所以x₁-x₂＜0，x₁+x₂+4＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函數(shù)y=x²+4x+3在x∈[0，+∞）是單調遞增函數(shù)．
（3）由（1）知x＜0時，f（x）=x²-4x+3，根據二次函數(shù)的單調性可得函數(shù)的單調減區(qū)間（-∞，0）
x≥0時f（x）=x²+4x+3，根據二次函數(shù)的單調性可得函數(shù)的單調增區(qū)間[0，+∞）
所以函數(shù)的單調區(qū)間為：（-∞，0），[0，+∞）．
分析：（1）x＜0時，-x＞0，代入已知x≥0時，f（x）=x²+4x+3，可得f（-x）=x²-4x+3，根據偶函數(shù)的性質可求得f（x）=x²-4x+3；
（2）根據函數(shù)單調性的定義按五步走證明即可；
（3）根據二次函數(shù)的單調性分別求解兩段函數(shù)的單調區(qū)間即可．
點評：本題主要考查了利用偶函數(shù)的對稱性求解函數(shù)的解析式，函數(shù)單調性的判斷與證明，函數(shù)的單調區(qū)間的求解，（3）中對每段函數(shù)求解單調區(qū)間時要注意函數(shù)的定義域．