Question

5．已知A，B分別是射線CM，CM（不含端點(diǎn)C）上運(yùn)動(dòng)，在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．
（1）若∠MCN=$\frac{2π}{3}$，a，b，c依次成等差數(shù)列，且公差為2，求c的值；
（2）若∠MCN=$\frac{π}{3}，c=\sqrt{3}$，∠ABC=θ，求a+b的最大值．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列推導(dǎo)出a=c-4，b=c-2，由$∠MCN=\frac{2}{3}π，cosC=-\frac{1}{2}$，得c²-9c+14=0，由此能求出c．
（2）在△ABC中，由正弦定理可得$\frac{AC}{sinθ}=\frac{BC}{{sin（\frac{2π}{3}-θ）}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{sin\frac{π}{3}}}=2，從而AC=2sinθ，BC=2sinθsin（\frac{2π}{3}-θ）$，由此能求出a+b的最大值．

解答 解：（1）因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，且公差為2，所以a=c-4，b=c-2，
又因?yàn)?∠MCN=\frac{2}{3}π，cosC=-\frac{1}{2}$，所以$\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=-\frac{1}{2}⇒\frac{{{{（c-4）}^2}+{{（c-2）}^2}-{c^2}}}{2（c-4）（c-2）}=-\frac{1}{2}$，
變形得c²-9c+14=0，解得c=7或c=2，
又因?yàn)閏＞4，所以c=7．
（2）在△ABC中，由正弦定理可得$\frac{AC}{sin∠ABC}=\frac{BC}{sin∠BAC}=\frac{AB}{sin∠ACB}$，
所以$\frac{AC}{sinθ}=\frac{BC}{{sin（\frac{2π}{3}-θ）}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{sin\frac{π}{3}}}=2⇒AC=2sinθ，BC=2sinθsin（\frac{2π}{3}-θ）$
所以$a+b=|{AC}|+|{BC}|=2sinθ+2sin（\frac{2π}{3}-θ）=2\sqrt{3}（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ+\frac{1}{2}cosθ）=2\sqrt{3}sin（θ+\frac{π}{6}）$，
又因?yàn)?θ∈（0，\frac{2π}{3}）$，所以$\frac{π}{6}＜θ+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
當(dāng)$θ+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{π}{3}$時(shí)，a+b取得最大值$2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的邊長(zhǎng)的求法，考查兩邊和的最大值的求法，涉及到等差數(shù)列、正弦定理、正弦函數(shù)加法定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．