Question

在平面直角坐標(biāo)系上，設(shè)不等式組（）
所表示的平面區(qū)域為，記內(nèi)的整點（即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）的個數(shù)為.
（Ⅰ）求并猜想的表達式再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和,是否存在自然數(shù)m？使得對一切，恒成立。若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由。

Answer 1

（Ⅰ），，，＝3n，（Ⅱ）滿足題設(shè)的自然數(shù)m存在，其值為0

（Ⅰ）當(dāng)n＝1時，D₁為Rt△OAB₁的內(nèi)部包括斜邊，這時，
當(dāng)n＝2時，D₂為Rt△OAB₂的內(nèi)部包括斜邊，這時，
當(dāng)n＝3時，D₃為Rt△OAB₃的內(nèi)部包括斜邊，這時，……， ---3分
由此可猜想＝3n。 --------------------------------------------------4分
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(1)當(dāng)n＝1時，猜想顯然成立。
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時，猜想成立，即，（） ----5分
如圖，平面區(qū)域為Rt內(nèi)部包括斜邊、平面區(qū)域為
Rt△內(nèi)部包括斜邊，∵平面區(qū)域比平面區(qū)域多3
個整點， ------- 7分            
即當(dāng)n＝k+1時，，這就是說當(dāng)n＝k+1時，
猜想也成立，
由（1）、（2）知＝3n對一切都成立。 ---------------------8分
（Ⅱ）∵＝3n,  ∴數(shù)列是首項為3，公差為3的等差數(shù)列,
∴.
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∵對一切，恒成立,  ∴
∵在上為增函數(shù) ∴ ---13分
，滿足的自然數(shù)為0，
∴滿足題設(shè)的自然數(shù)m存在，其值為0。 -------------------------14分