Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓Ω：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直線l：y=2上的點(diǎn)和橢圓Ω上的點(diǎn)的距離的最小值為1．
（Ⅰ） 求橢圓Ω的方程；
（Ⅱ） 已知橢圓Ω的上頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B，C是Ω上的不同于A的兩點(diǎn)，且點(diǎn)B，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線AB，AC分別交直線l于點(diǎn)E，F(xiàn)．記直線AC與AB的斜率分別為k₁，k₂
①求證：k₁•k₂為定值；
②求△CEF的面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題知b=1，由$\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，b=1，聯(lián)立解出即可得出．
（Ⅱ）①證法一：設(shè)B（x₀，y₀）（y₀＞0），則$\frac{{{x_0}^2}}{2}+{y_0}^2=1$，因?yàn)辄c(diǎn)B，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則C（-x₀，-y₀），利用斜率計(jì)算公式即可得出．
證法二：直線AC的方程為y=k₁x+1，與橢圓方程聯(lián)立可得坐標(biāo)，即可得出．
②直線AC的方程為y=k₁x+1，直線AB的方程為y=k₂x+1，不妨設(shè)k₁＞0，則k₂＜0，令y=2，得$E（\frac{1}{k_2}，\;2），F(xiàn)（\frac{1}{k_1}，\;2）$，可得△CEF的面積${S_{△CEF}}=\frac{1}{2}×|EF|×（2-{y_C}）$．

解答 解：（Ⅰ）由題知b=1，由$\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以a²=2，b²=1．
故橢圓的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$． （3分）
（Ⅱ）①證法一：設(shè)B（x₀，y₀）（y₀＞0），則$\frac{{{x_0}^2}}{2}+{y_0}^2=1$，
因?yàn)辄c(diǎn)B，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則C（-x₀，-y₀），
所以${k_1}•{k_2}=\frac{{{y_0}+1}}{x_0}•\frac{{{y_0}+1}}{x_0}=\frac{{{y_0}^2-1}}{{{x_0}^2}}=\frac{{-\frac{{{x_0}^2}}{2}}}{{{x_0}^2}}=-\frac{1}{2}$．（6分）
證法二：直線AC的方程為y=k₁x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y={k_1}x+1\end{array}\right.$得$（1+2k_1^2）{x^2}+4{k_1}x=0$，
解得${x_C}=-\frac{{4{k_1}}}{{2{k_1}^2+1}}$，同理${x_B}=-\frac{{4{k_2}}}{{2{k_2}^2+1}}$，
因?yàn)锽，O，C三點(diǎn)共線，則由${x_C}+{x_B}=-\frac{{4{k_1}}}{{2{k_1}^2+1}}-\frac{{4{k_2}}}{{2{k_2}^2+1}}=0$，
整理得（k₁+k₂）（2k₁k₂+1）=0，
所以${k_1}•{k_2}=-\frac{1}{2}$．（6分）
②直線AC的方程為y=k₁x+1，直線AB的方程為y=k₂x+1，不妨設(shè)k₁＞0，則k₂＜0，
令y=2，得$E（\frac{1}{k_2}，\;2），F(xiàn)（\frac{1}{k_1}，\;2）$，
而${y_C}={k_1}{x_C}+1=-\frac{{4{k_1}^2}}{{2{k_1}^2+1}}+1=\frac{{-2{k_1}^2+1}}{{2{k_1}^2+1}}$，
所以，△CEF的面積${S_{△CEF}}=\frac{1}{2}×|EF|×（2-{y_C}）$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{k_1}-\frac{1}{k_2}）（2+\frac{{2{k_1}^2-1}}{{2{k_1}^2+1}}）$
=$\frac{1}{2}•\frac{{{k_2}-{k_1}}}{{{k_1}{k_2}}}•\frac{{6{k_1}^2+1}}{{2{k_1}^2+1}}$．（8分）
由${k_1}•{k_2}=-\frac{1}{2}$得${k_2}=-\frac{1}{{2{k_1}}}$，
則S_△CEF=$\frac{{2{k_1}^2+1}}{{2{k_1}}}•\frac{{6{k_1}^2+1}}{{2{k_1}^2+1}}=3{k_1}+\frac{1}{{2{k_1}}}≥\sqrt{6}$，當(dāng)且僅當(dāng)${k_1}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$取得等號(hào)，
所以△CEF的面積的最小值為$\sqrt{6}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、項(xiàng)斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．