Question

1．某動物園要為剛?cè)雸@的小動物建造一間兩面靠墻的三角形露天活動室，地面形狀如圖所示，已知已有兩面墻的夾角為$\frac{π}{3}$（∠ACB=$\frac{π}{3}$），墻AB的長度為6米，（已有兩面墻的可利用長度足夠大），記∠ABC=θ
（1）若θ=$\frac{π}{4}$，求△ABC的周長（結(jié)果精確到0.01米）；
（2）為了使小動物能健康成長，要求所建的三角形露天活動室面積△ABC的面積盡可能大，問當θ為何值時，該活動室面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，由正弦定理可得AC，BC，即可求△ABC的周長；
（2）利用余弦定理列出關系式，將c，cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，利用三角形的面積公式求出面積的最大值，以及此時θ的值．

解答 解：（1）在△ABC中，由正弦定理可得AC=$\frac{6•\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{6}$，BC=$\frac{6sin75°}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∴△ABC的周長為6+3$\sqrt{2}$+3$\sqrt{6}$≈17.60米
（2）在△ABC中，由余弦定理：c²=60²=a²+b²-2abcos60°，
∴a²+b²-ab=36，
∴36+ab=a²+b²≥2ab，即ab≤36，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC•sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤9$\sqrt{3}$，
此時a=b，△ABC為等邊三角形，
∴θ=60°，（S_△ABC）_max=9$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了正弦定理、余弦定理，基本不等式的應用，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．