Question

2．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點F作某一漸近線的垂線，分別與兩漸近線相交于A，B兩點，若$\frac{|AF|}{|BF|}=\frac{1}{2}$，則雙曲線的離心率為2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 方法一、運用兩漸近線的對稱性和條件，可得A為BF的中點，由垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，可得Rt△OAB中，∠AOB=$\frac{π}{3}$，求得漸近線的斜率，運用離心率公式即可得到；
方法二、設(shè)過左焦點F作$y=-\frac{a}x$的垂線方程為$y=\frac{a}（x+c）$，聯(lián)立漸近線方程，求得交點A，B的縱坐標，由條件可得A為BF的中點，進而得到a，b的關(guān)系，可得離心率．

解答 解法一：當b＞a＞0時，由$\frac{|AF|}{|BF|}=\frac{1}{2}$，可知A為BF的中點，由條件可得
$\frac{|OA|}{|OB|}=\frac{1}{2}$，
則Rt△OAB中，∠AOB=$\frac{π}{3}$，
漸近線OB的斜率k=$\frac{a}$=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
即離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$=2．
同理當a＞b＞0時，可得e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
解法二：設(shè)過左焦點F作$y=-\frac{a}x$的垂線方程為$y=\frac{a}（x+c）$
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{a}（x+c）}\\{y=-\frac{a}x}\end{array}}\right.$，解得，${y_A}=\frac{ab}{c}$，
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{a}（x+c）}\\{y=\frac{a}x}\end{array}}\right.$，解得，y_B=$\frac{abc}{^{2}-{a}^{2}}$，
又$\frac{|AF|}{|BF|}=\frac{1}{2}$，∴y_B=2y_A∴b²=3a²，
所以離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$=2．
同理當a＞b＞0時，可得e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，主要是離心率的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意向量共線的合理運用．