Question

13．直角三角形ABC中角A，B，C對邊長分別為a，b，c，∠C=90°．
（1）若三角形面積為2，求斜邊長c最小值；
（2）試比較aⁿ+bⁿ與cⁿ（n∈N^*）的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由$S=\frac{1}{2}$ab=2，可得：ab=4．由∠C=90°，可得a²+b²=c²，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（2）①當n=1時，利用三角形三邊大小關系可得a+b＞c；
②當n=2時，由∠C=90°，利用勾股定理可得a²+b²=c²；
③當n≥3時，設cosθ=$\frac{a}{c}$，sinθ=$\frac{c}$，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．由$（\frac{a}{c}）^{n}+（\frac{c}）^{n}$=cosⁿθ+sinⁿθ，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵$S=\frac{1}{2}$ab=2，∴ab=4．
∵∠C=90°，
∴a²+b²=c²≥2ab=8，解得c≥$2\sqrt{2}$．當且僅當a=b=2時取等號．
∴斜邊長c最小值為2$\sqrt{2}$．
（2）①當n=1時，a+b＞c；
②當n=2時，∵∠C=90°，∴a²+b²=c²；
③當n≥3時，設cosθ=$\frac{a}{c}$，sinθ=$\frac{c}$，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．
則$（\frac{a}{c}）^{n}+（\frac{c}）^{n}$=cosⁿθ+sinⁿθ＜cos²θ+sin²θ=1，
∴aⁿ+bⁿ＜cⁿ．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、三角形三邊大小關系、勾股定理、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．