Question

6．有一塊正方形EFGH，EH所在直線是一條小河，收獲的蔬菜可送到F點或河邊運走．于是，菜地分別為兩個區(qū)域S₁和S₂，其中S₁中的蔬菜運到河邊較近，S₂中的蔬菜運到F點較近，而菜地內(nèi)S₁和S₂的分界線C上的點到河邊與到F點的距離相等，現(xiàn)建立平面直角坐標系，其中原點O為EF的中點，點F的坐標為（1，0），如圖
（1）求菜地內(nèi)的分界線C的方程；
（2）菜農(nóng)從蔬菜運量估計出S₁面積是S₂面積的兩倍，由此得到S₁面積的經(jīng)驗值為$\frac{8}{3}$．設M是C上縱坐標為1的點，請計算以EH為一邊，另一邊過點M的矩形的面積，及五邊形EOMGH的面積，并判斷哪一個更接近于S₁面積的“經(jīng)驗值”．

Answer 1

分析 （1）設分界線上任意一點為（x，y），根據(jù)條件建立方程關系進行求解即可．
（2）設M（x₀，y₀），則y₀=1，分別求出對應矩形面積，五邊形FOMGH的面積，進行比較即可．

解答 解：（1）設分界線上任意一點為（x，y），由題意得|x+1|=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，得y=2$\sqrt{x}$，（0≤x≤1），
（2）設M（x₀，y₀），則y₀=1，
∴x₀=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴設所表述的矩形面積為S₃，則S₃=2×（$\frac{1}{4}$+1）=2×$\frac{5}{4}$=$\frac{5}{2}$，
設五邊形EMOGH的面積為S₄，則S₄=S₃-S_△OMP+S_△MGN=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$×1+$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×1$=$\frac{11}{4}$，
S₁-S₃=$\frac{8}{3}-\frac{5}{2}$=$\frac{1}{6}$，S₄-S₁=$\frac{11}{4}$-$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{12}$＜$\frac{1}{6}$，
∴五邊形EMOGH的面積更接近S₁的面積．

點評 本題主要考查圓錐曲線的軌跡問題，考查學生的運算能力，綜合性較強，難度較大．