Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC為正三角形，側(cè)面ACC₁A₁是的菱形，且側(cè)面ACC₁A₁⊥底面ABC，D為AC的中點．
（1）求證：平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁；
（2）若點E為AA₁上的一點，當CE⊥BB₁時，求二面角A-EC-B的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證明AC⊥平面A₁BD，再利用面面垂直的判定，證明平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁；
（2）證明BD⊥平面ACE，過點D作DF⊥CE，垂足為F，連接BF，則可得∠BFD為二面角A-EC-B的平面角，求出BD、DF的長，即可求得tan∠BFD的值．
解答：（1）證明：∵底面ABC為正三角形，側(cè)面ACC₁A₁是的菱形，D為AC的中點
∴AC⊥A₁D，AC⊥BD
∴A₁D∩BD=D
∴AC⊥平面A₁BD
∵AC?平面ACC₁A₁，
∴平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁；
（2）解：∵AA₁∥BB₁，CE⊥BB₁，∴CE⊥AA₁，
∴E為AA₁的中點
∵BD⊥AC，∴BD⊥平面ACE
過點D作DF⊥CE，垂足為F，連接BF，則BF⊥CE，所以∠BFD為二面角A-EC-B的平面角
∵DF⊥CE，∴DF=
設AB=a，則BD=，DF==
∴tan∠BFD==2
點評：本題考查面面垂直，考查面面角，解題的關鍵是掌握面面垂直的判定，正確作出面面角，屬于中檔題．