Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²-x（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在（1，-2）處的切線方程；
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，分析函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（3）若函數(shù)y=g（x）的圖象上存在一點(diǎn)P（x₀，y₀），使得以P為切點(diǎn)的切線m將圖象分割為c₁，c₂兩部分，且c₁，c₂分別完全位于切線m的兩側(cè)（除了P點(diǎn)外），則稱點(diǎn)x₀為函數(shù)y=g（x）的“切割點(diǎn)“．問(wèn)：函數(shù)f（x）是否存在滿足上述條件的切割點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：新定義,分類討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出a=1的函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，a=0，a＜0，運(yùn)用判別式結(jié)合二次方程的求根公式，解不等式即可得到單調(diào)區(qū)間，注意定義域；
（3）求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，a=0，a＞0，由導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到最大值，即可說(shuō)明不存在切割點(diǎn)；a＜0，由（2）可得單調(diào)區(qū)間，說(shuō)明f（x）無(wú)最值，則存在切割點(diǎn)．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=lnx-x²-x
的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

1

x

-2x-1，
則函數(shù)f（x）在（1，-2）處的切線斜率為1-2-1=-2，
即有函數(shù)f（x）在（1，-2）處的切線方程為y+2=-2（x-1），
即為2x+y=0；
（2）函數(shù)f（x）=lnx-ax²-x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

1

x

-2ax-1=

-2ax2-x+1

x

，（x＞0），
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=

1-x

x

，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．
當(dāng)a＜0時(shí)，令h（x）=-2ax²-x+1，
當(dāng)△≤0，即1+8a≤0，a≤-

1

8

時(shí)，h（x）≥0恒成立，即有f（x）遞增；
當(dāng)△＞0，即1+8a＞0，a＞-

1

8

時(shí)，由h（x）=0可得x=

1± 1+8a

-4a

＞0，
當(dāng)x＞

1+ 1+8a

-4a

或0＜x＜

1- 1+8a

-4a

時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)

1- 1+8a

-4a

＜x＜

1+ 1+8a

-4a

時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
綜上可得，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）；
當(dāng)a≤-

1

8

時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)-

1

8

＜a＜0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，

1- 1+8a

-4a

），（

1+ 1+8a

-4a

，+∞），
減區(qū)間為（

1- 1+8a

-4a

，

1+ 1+8a

-4a

）．
（3）函數(shù)f（x）=lnx-ax²-x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

1

x

-2ax-1=

-2ax2-x+1

x

，（x＞0），
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞），f（1）為最大值，且為-1＜0，
即f（x）＜0恒成立．則不存在切割點(diǎn)；
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=0解得x=

1- 1+8a

-4a

（負(fù)的舍去），
當(dāng)0＜x＜

1- 1+8a

-4a

時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當(dāng)x＞

1- 1+8a

-4a

時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有f（

1- 1+8a

-4a

）取得最大，且為負(fù)值，則不存在切割點(diǎn)；
當(dāng)a＜0時(shí)，由（2）得當(dāng)a≤-

1

8

時(shí)，f（x）在x＞0時(shí)遞增，無(wú)最值，則存在切割點(diǎn)；
當(dāng)-

1

8

＜a＜0時(shí)，由于f（x）的增區(qū)間為（0，

1- 1+8a

-4a

），（

1+ 1+8a

-4a

，+∞），
減區(qū)間為（

1- 1+8a

-4a

，

1+ 1+8a

-4a

），無(wú)最值，則存在切割點(diǎn)．
綜上可得，當(dāng)a≥0時(shí)，不存在切割點(diǎn)；當(dāng)a＜0時(shí)，存在切割點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和判斷單調(diào)性和極值、最值，同時(shí)考查新定義的理解和運(yùn)用，運(yùn)用分類討論的思想方法和單調(diào)性的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．