Question

13．已知實數(shù)a＞0，b＞0，函數(shù)f（x）=|x-a|-|x+b|的最大值為3．
（I） 求a+b的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=-x²-ax-b，若對于?x≥a均有g(shù)（x）＜f（x），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出f（x）的最大值是a+b，從而求出a+b的值即可；
（Ⅱ）根據(jù)a，b的范圍，問題轉(zhuǎn)化為x²+ax-a＞0在[a，+∞）恒成立，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=|x-a|-|x+b|≤|x-a-x-b|=|a+b|=3，
∵a＞0，b＞0，∴a+b=3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，0＜a＜3，0＜b＜3，
∴?x≥a，x-a≥0，x+b＞0，
此時，f（x）=x-a-x-b=-3，
若對于?x≥a均有g(shù)（x）＜f（x），
即x²+ax+b-3＞0在[a，+∞）恒成立，
即x²+ax-a＞0在[a，+∞）恒成立，
對稱軸x=-$\frac{a}{2}$＜0，
故只需a²+a²-a＞0即可，
解得：a＞$\frac{1}{2}$，
故$\frac{1}{2}$＜a＜3．

點評 本題考查了絕對值的性質(zhì)，考查絕對值不等式的解法以及函數(shù)恒成立問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．