Question

已知函數(shù)f（x）=

ax2+1

x

．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a＞0，x₁+x₂＞0，x₂+x₃＞0，x₃+x₁＞0，|x_i|＞

1

a

（i=1，2，3）．求證：f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞2

a

．

Answer 1

整理得：f（x）=ax+

1

x

（1）當(dāng)a≤0時，f（x）的減區(qū)間為（-∞，0）和（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時，f（x）的減區(qū)間為（-

1

a

，0）和（0，

1

a

），增區(qū)間為（-∞，-

1

a

）和（

1

a

，+∞）…（5分）
（2）由條件知：x₁，x₂，x₃中至多一個負(fù)數(shù)．   …（6分）
（�。┤魓₁，x₂，x₃都為正數(shù)，由（1）可知|x_i|＞

1

a

時，f（|x_i|）＞f（

1

a

）=2

a

 （i=1，2，3）
∴f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞6

a

＞2

a

 …（9分）
（ⅱ）若x₁，x₂，x₃中有一負(fù)數(shù)，不妨設(shè)x₃＜0．
∵x₂+x₃＞0且|x₃|＞

1

a

，
∴x₂＞-x₃＞

1

a

∴f（x₂）＞f（-x₃）=-f（x₃）（∵f（x）為奇函數(shù)）
∴f（x₂）+f（x₃）＞0
∴f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞f（x₁）＞f（

1

a

）=2

a

  …（11分）
綜上，f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞2

a

．…（12分）