Question

6．已知{a_n}的前n項(xiàng)之和S_n=n²+n，數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=x^n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=a_nb_n，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求T_n．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和公式，觀察可知是等差數(shù)列，求得a₁=2，d=2，求得a_n，寫(xiě)出c_n的通項(xiàng)公式，再利用乘x，錯(cuò)位相減，求T_n．

解答 解：（1）由S_n=n²+n可知a₁=2，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列d=2，
∴a_n=2n；
（2）c_n=2nx^n-1
T_n=2+4x+6x²+8x³+…+2nx^n-1，①
則xT_n=2x+4x²+6x³+8x⁴+…+2nxⁿ，②
①-②，得（1-x）T_n=2+2x+2x²+…+2x^n-1-2nxⁿ，
當(dāng)x≠1時(shí)，（1-x）T_n=2×$\frac{1-{x}^{n}}{1-x}$-2nxⁿ
T_n=$\frac{2-2（n+1）{x}^{n}+2n{x}^{n+1}}{（1-x）^{2}}$
當(dāng)x=1時(shí)，T_n=2+4+6+8+…+2n=n²+n．
總上可知，
$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}+n}&{n=1}\\{\frac{2-2（n+1）{x}^{n}+2n{x}^{n+1}}{（1-x）^{2}}}&{n≠1}\end{array}\right.$
T_n=

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列求通項(xiàng)公式，求數(shù)列的前n項(xiàng)和采用錯(cuò)位相減法，屬于中檔題．