Question

1．已知向量$\overrightarrow{OA}$=a$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$，且A、B、C三點(diǎn)共線，則二項(xiàng)式（ax-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁸的展開式中x²項(xiàng)的系數(shù)是1120．

Answer 1

分析 根據(jù)共線定理，求出a的值，再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求出展開式中x²項(xiàng)的系數(shù)．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{OA}$=a$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$，且A、B、C三點(diǎn)共線，
∴a+（-1）=1，
解得a=2；
∴二項(xiàng)式（2x-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁸展開式的通項(xiàng)公式為：
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•（2x）^8-r•${（-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{r}$=（-1）^r•2^8-r•${C}_{8}^{r}$•${x}^{8-\frac{3r}{2}}$，
令8-$\frac{3}{2}$r=2，
解得r=4；
∴展開式中x²項(xiàng)的系數(shù)是2⁴×${C}_{8}^{4}$=1120．
故答案為：1120．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了平面向量的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．