Question

已知函數(shù)
(1)當時，求函數(shù)的極小值；
(2)當時，過坐標原點作曲線的切線，設切點為，求實數(shù)的值；
(3)設定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為當時，若在內(nèi)恒成立，則稱為函數(shù)的“轉(zhuǎn)點”．當時，試問函數(shù)是否存在“轉(zhuǎn)點”.若存在,請求出“轉(zhuǎn)點”的橫坐標,若不存在,請說明理由．

Answer 1

(1)  ；(2) ；(3)參考解析

試題分析：(1)因為函數(shù)當時，求函數(shù)的極小值，即對函數(shù)求導通過求出極值點，即可求出極小值.
(2)過曲線外一點作曲線的切線，是通過求導得到切線的斜率等于切點與這點斜率.建立一個等式，從而確定切點橫坐標的大小，由于該方程不能直接求解，所以通過估算一個值，在證明該函數(shù)的單調(diào)性，即可得到切點的橫坐標.
(3)因為根據(jù)定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為當時，若在內(nèi)恒成立，則稱為函數(shù)的“轉(zhuǎn)點”．該定義等價于切線穿過曲線，在的兩邊的圖像分別在的上方和下方恒成立.當時，通過討論函數(shù)的單調(diào)性即最值即可得結(jié)論.
試題解析：(1)當時，，
當時，；當時；當時.
所以當時，取到極小值.
(2)，所以切線的斜率
整理得,顯然是這個方程的解，
又因為在上是增函數(shù)，
所以方程有唯一實數(shù)解，故.
(3)當時，函數(shù)在其圖象上一點處的切線方程為
，
設，則，
若，在上單調(diào)遞減，
所以當時，此時；
所以在上不存在“轉(zhuǎn)點”.
若時,在上單調(diào)遞減,所以當時, ，此時，
所以在上不存在“轉(zhuǎn)點”.
若時，即在上是增函數(shù)，
當時，，
當時，， 即點為“轉(zhuǎn)點”，
故函數(shù)存在“轉(zhuǎn)點”，且是“轉(zhuǎn)點”的橫坐標.