Question

16．已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E，F(xiàn)，G分別是PA、PB、BC的中點．
（1）求點P到平面EFG的距離；
（2）求平面EFG與平面PAB夾角余弦值的大�。�

Answer 1

分析 （1）以O(shè)為原點，OG為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出點P到平面EFG的距離．
（2）求出平面PAB的法向量和平面EFG的法向量，由此能求出平面EFG與平面PAB夾角的余弦值．

解答 解：（1）∵在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，
且平面PAD⊥平面ABCD，E，F(xiàn)，G分別是PA、PB、BC的中點，
∴過P作PO⊥平面ABCD，交AD于O，
以O(shè)為原點，OG為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
P（0，0，2$\sqrt{3}$），A（0，-2，0），B（4，-2，0），
E（0，-1，$\sqrt{3}$），F(xiàn)（2，-1，$\sqrt{3}$），G（4，0，0），
$\overrightarrow{GP}$=（-4，0，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{GE}$=（-4，-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{GF}$=（-2，-1，$\sqrt{3}$），
設(shè)平面EFG的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{GE}•\overrightarrow{n}=-4x-y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{GF}•\overrightarrow{n}=-2x-y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，3，$\sqrt{3}$），
∴點P到平面EFG的距離：
d=$\frac{|\overrightarrow{GP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|6|}{\sqrt{12}}$=$\sqrt{3}$．
（2）$\overrightarrow{AB}$=（4，0，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，2，2$\sqrt{3}$），
設(shè)平面PAB的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=4a=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=2b+2\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取B=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），
設(shè)平面EFG與平面PAB夾角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{12}•\sqrt{4}}$=$\frac{1}{2}$．
∴平面EFG與平面PAB夾角的余弦值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查點到平面的距離的求法，考查面面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．