Question

11．已知點(diǎn)P是直線l：kx+y-2=0上一動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓C：x²+y²+2y=0的兩條切線，A、B是切點(diǎn)．若四邊形PACB的最小面積為$\sqrt{2}$，則k=$±\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由圓的方程為求得圓心C，半徑r，由“若四邊形面積最小，則圓心與點(diǎn)P的距離最小時(shí)，即距離為圓心到直線的距離時(shí)，切線長(zhǎng)PA，PB最小”，最后利用點(diǎn)到直線的距離求出直線的斜率即可．．

解答 解：∵圓的方程為：x²+（y+1）²=1，
∴圓心C（0，-1），半徑r=1．
根據(jù)題意，若四邊形面積最小，當(dāng)圓心與點(diǎn)P的距離最小時(shí)，即距離為圓心到直線l的距離最小時(shí)，切線長(zhǎng)PA，PB最小．切線長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，
∴PA=PB═$\sqrt{2}$，
∴圓心到直線l的距離為d=$\sqrt{3}$．
∵直線kx+y-2=0，
∴$\sqrt{3}$=$\frac{3}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，解得k=±$\sqrt{2}$，
所求直線的斜率為$±\sqrt{2}$
故答案為：$±\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，主要涉及了構(gòu)造四邊形及其面積的求法，解題的關(guān)鍵是“若四邊形面積最小，則圓心與點(diǎn)P的距離最小時(shí)，即距離為圓心到直線的距離時(shí)，切線長(zhǎng)PA，PB最小”屬于中檔題．