Question

【題目】如圖，三棱柱中，四邊形為菱形，，平面平面，在線段上移動，為棱的中點(diǎn).

（1）若為線段的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，延長交于，求證：平面；

（2）若二面角的平面角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）取BB1中點(diǎn)E，連接AE，EH，推導(dǎo)出EH∥B1Q，AE∥PB1，從而平面EHA∥平面B1QP，由此能證明AD∥平面B1PQ．

（2）連接PC1，AC1，推導(dǎo)出AA1=AC=A1C1=4，△AC1A1為正三角形，推導(dǎo)出PC1⊥AA1，從而PC1⊥平面ABB1A1，建立空間直角坐標(biāo)系Pxyz，利用向量法能求出點(diǎn)P到平面BQB1的距離．

解：（1）證明：如圖，取中點(diǎn)，連接

∵為中點(diǎn)，∴

在平行四邊形中，分別為的中點(diǎn)，∴

又，，

∴平面平面

∵平面，∴平面.

（2）連接，

∵四邊形為菱形，∴

又，∴為正三角形

∵為的中點(diǎn)，∴

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

在平面內(nèi)過點(diǎn)作交于點(diǎn)

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

，

設(shè)，

∴，

∴

∵，，∴，∴

設(shè)平面的法向量為，

則得，令，則，

∴平面的一個法向量為，

設(shè)平面的法向量為，二面角的平面角為，

則

∴或（舍），∴，∴.

又，∴，∴

連接，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則

∴，即點(diǎn)到平面的距離為.