Question

1．（Ⅰ）已知復數(shù)$z=-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，其共軛復數(shù)為$\overline z$，求$|\frac{1}{z}|+{（\overline z）^2}$；
（Ⅱ）設集合A={y|$y={x^2}-2x+\frac{1}{2}$}，B={x|m+x²≤1，m＜1}．命題p：x∈A；命題q：x∈B．若p是q的必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)復數(shù)的基本運算進行化簡即可．
（Ⅱ）根據(jù)必要條件的定義建立不等式關系進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）因為$z=-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，所以$|\frac{1}{z}|=|-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}i|=\sqrt{{{（-\frac{1}{2}）}^2}+{{（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）}^2}}=1$${（\overline z）^2}={（-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}i）^2}=-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，
所以原式=$1-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$；
（Ⅱ）由題可知$A=\{y|y≥-\frac{1}{2}\}$，$B=\{x|-\sqrt{1-m}≤x≤\sqrt{1-m}\}$，
由于p是q的必要條件，所以B⊆A，
所以$-\sqrt{1-m}≥-\frac{1}{2}$，解得$m≥\frac{3}{4}$．
綜上所述：$\frac{3}{4}≤m＜1$．

點評 本題主要考查復數(shù)的基本運算和充分條件和必要條件的應用，根據(jù)相應的定義是解決本題的關鍵．