Question

16．設(shè)矩形ABCD，以A、B為左右焦點(diǎn)，并且過(guò)C、D兩點(diǎn)的橢圓和雙曲線的離心率之積為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 2
• C． 1
• D． 條件不夠，不能確定

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)出A、B、C、D的坐標(biāo)，計(jì)算可得|BD|的值，結(jié)合橢圓、雙曲線的定義計(jì)算可得橢圓的離心率e₁和雙曲線的離心率e₂，將橢圓和雙曲線的離心率相乘即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)A的坐標(biāo)（-m，0），D的坐標(biāo)為（-m，n），則B（m，0），D（m，n）；
則|DB|=$\sqrt{4{m}^{2}+{n}^{2}}$，
在橢圓中，c=m，2a=|AD|+|BD|=n+$\sqrt{4{m}^{2}+{n}^{2}}$，
其離心率e₁=$\frac{c}{a}$=$\frac{2m}{\sqrt{4{m}^{2}+{n}^{2}}+n}$，
在雙曲線中，c=m，2a=|DB|-|AD|=$\sqrt{4{m}^{2}+{n}^{2}}$-n，
其離心率e₂=$\frac{c}{a}$=$\frac{2m}{\sqrt{4{m}^{2}+{n}^{2}}-n}$，
橢圓和雙曲線的離心率之積e₁×e₂=$\frac{2m}{\sqrt{4{m}^{2}+{n}^{2}}+n}$×$\frac{2m}{\sqrt{4{m}^{2}+{n}^{2}}-n}$=$\frac{4{m}^{2}}{4{m}^{2}}$=1；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是利用橢圓、雙曲線的定義分析計(jì)算其離心率．