【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,且點 在該橢圓上
(1)求橢圓C的方程;
(2)過橢圓C的左焦點F1的直線l與橢圓相交于A,B兩點,若△AOB的面積為 ,求圓心在原點O且與直線l相切的圓的方程.

【答案】
(1)解:由題意,

∴a=2,b= ,c=1,

∴橢圓C的方程為


(2)解:當直線l⊥x軸時,△AOB的面積為 ,不符合題意;

當直線l與x軸不垂直時,設(shè)直線l的方程為:y=k(x+1),k≠0

代入橢圓方程,消去y,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2﹣12=0聯(lián)立,韋達定理,△>0顯然成立

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

x1+x2=﹣ ,x1x2=

,即17k4+k2﹣18=0,k2=1

,∴圓的方程為


【解析】(1)設(shè)出橢圓的標準方程,根據(jù)離心率求得a和c關(guān)系,進而根據(jù)a2=b2+c2 , 求得a和b的關(guān)系,把點C坐標代入橢圓方程求得a,進而求得b,則橢圓方程可得.(2)先看當l與x軸垂直時,可求得A,B的坐標,進而求得三角形AOB的坐標,不符合題意;再看直線l斜率存在時,設(shè)出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立消去y,設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),進而求得x1+x2和x1x2的表達式,進而表示出|AB|,進而求得圓的半徑后表示出三角形AOB的面積,求得k,進而求得圓的半徑,則圓的方程可得.

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