Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，且點(diǎn) 在該橢圓上
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)F1的直線(xiàn)l與橢圓相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，若△AOB的面積為 ，求圓心在原點(diǎn)O且與直線(xiàn)l相切的圓的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意， ，

∴a=2，b= ，c=1，

∴橢圓C的方程為

（2）解：當(dāng)直線(xiàn)l⊥x軸時(shí)，△AOB的面積為 ，不符合題意；

當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為：y=k（x+1），k≠0

代入橢圓方程，消去y，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0聯(lián)立，韋達(dá)定理，△＞0顯然成立

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則

x1+x2=﹣ ，x1x2=

∴

∴ ，即17k4+k2﹣18=0，k2=1

∴ ，∴圓的方程為

【解析】（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)離心率求得a和c關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)a2=b2+c2 ， 求得a和b的關(guān)系，把點(diǎn)C坐標(biāo)代入橢圓方程求得a，進(jìn)而求得b，則橢圓方程可得．（2）先看當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，可求得A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而求得三角形AOB的坐標(biāo)，不符合題意；再看直線(xiàn)l斜率存在時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），進(jìn)而求得x1+x2和x1x2的表達(dá)式，進(jìn)而表示出|AB|，進(jìn)而求得圓的半徑后表示出三角形AOB的面積，求得k，進(jìn)而求得圓的半徑，則圓的方程可得．