Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，且點 在該橢圓上
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的左焦點F1的直線l與橢圓相交于A，B兩點，若△AOB的面積為 ，求圓心在原點O且與直線l相切的圓的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意， ，

∴a=2，b= ，c=1，

∴橢圓C的方程為

（2）解：當直線l⊥x軸時，△AOB的面積為 ，不符合題意；

當直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為：y=k（x+1），k≠0

代入橢圓方程，消去y，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0聯(lián)立，韋達定理，△＞0顯然成立

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則

x1+x2=﹣ ，x1x2=

∴

∴ ，即17k4+k2﹣18=0，k2=1

∴ ，∴圓的方程為

【解析】（1）設(shè)出橢圓的標準方程，根據(jù)離心率求得a和c關(guān)系，進而根據(jù)a2=b2+c2 ， 求得a和b的關(guān)系，把點C坐標代入橢圓方程求得a，進而求得b，則橢圓方程可得．（2）先看當l與x軸垂直時，可求得A，B的坐標，進而求得三角形AOB的坐標，不符合題意；再看直線l斜率存在時，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），進而求得x1+x2和x1x2的表達式，進而表示出|AB|，進而求得圓的半徑后表示出三角形AOB的面積，求得k，進而求得圓的半徑，則圓的方程可得．