Question

13．給出下列命題：
①若$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a}|-|{\overrightarrow b}|$，則存在實數(shù)λ，使得$\overrightarrow b=λ\overrightarrow a$；
②$a={log_{\frac{1}{3}}}2，b={log_{\frac{1}{2}}}3，c={（{\frac{1}{3}}）^{0.5}}$大小關系是c＞a＞b；
③已知直線l₁：ax+3y-1=0，l₂：x+by+1=0，則l₁⊥l₂的充要條件是$\frac{a}=-3$；
④已知a＞0，b＞0，函數(shù)y=2ae^x+b的圖象過點（0，1），則$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值是$4\sqrt{2}$．其中正確命題的序號是①② （把你認為正確的序號都填上）．

Answer 1

分析 ①根據(jù)向量關系的等價條件進行判斷，
②根據(jù)對數(shù)和指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行判斷，
③根據(jù)直線垂直的等價條件進行判斷，
④根據(jù)基本不等式的性質(zhì)進行判斷即可．

解答 解：①若$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a}|-|{\overrightarrow b}|$，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$共線，且方向相反，即存在實數(shù)λ，使得$\overrightarrow b=λ\overrightarrow a$成立；故①正確，
②log${\;}_{\frac{1}{3}}$2=-log₃2∈（-1，0），b=log${\;}_{\frac{1}{2}}$3=-log₂3＜-1，（$\frac{1}{3}$）^0.5＞0，則c＞a＞b，故②正確，
③當b=0，a=0時，兩直線分別為l₁：3y-1=0，l₂：x+1=0，滿足l₁⊥l₂，故l₁⊥l₂的充要條件是$\frac{a}=-3$錯誤，故③錯誤，
④已知a＞0，b＞0，函數(shù)y=2ae^x+b的圖象過點（0，1），則2a+b=1，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$=（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）（2a+b）=2+1+$\frac{2a}$+$\frac{a}$≥3+2$\sqrt{\frac{2a}•\frac{a}}$=3+2$\sqrt{2}$，
即則$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值是3+2．故④錯誤，
故答案為：①②

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強，但難度不大．