(本小題滿分14分)已知數(shù)列滿足,().
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)若數(shù)列滿足(),證明:數(shù)列是等差數(shù)列;
(Ⅲ)證明:().
(Ⅰ). (Ⅱ)見解析;(Ⅲ)見解析。
解析試題分析:(1)構(gòu)造等比數(shù)列的思想得到數(shù)列的通項公式的求解。
(2)在第一問的基礎(chǔ)上表述出bn的關(guān)系式,利用整體的思想得到證明。
(3)結(jié)合數(shù)列的放縮的思想,對于通項公式放縮得到求和的放縮結(jié)論。
解:(Ⅰ)因為,所以. (2分)
所以數(shù)列{an+1}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列. (3分)
所以,. (4分)
(Ⅱ)因為,所以. (5分)
即 ① (6分)
所以 ② (7分)
②-①得:,即 ③ (8分)
所以 ④ (9分)
④-③得,即. (10分)
所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.
(Ⅲ)因為, (12分)
設(shè),
則 (13分)
所以. (14分)
考點(diǎn):本試題主要考查了數(shù)列的通項公式和前n項和的求解以及不等式的證明綜合運(yùn)用。
點(diǎn)評:解決該試題的關(guān)鍵是構(gòu)造等比數(shù)列的思想得到數(shù)列an的通項公式,進(jìn)而為求解bn得到突破口,表示出bn的值,來得到證明。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分13分)設(shè)數(shù)列為單調(diào)遞增的等差數(shù)列且依次成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)若求數(shù)列的前項和;
(Ⅲ)若,求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分14分)
已知數(shù)列滿足
(Ⅰ)證明:數(shù)列為等比數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列的通項以及前n項和;
(Ⅲ)如果對任意的正整數(shù)都有求的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知數(shù)列的前項和,,且的最大值為8.
(1)確定的值;
(2)求數(shù)列的通項公式;
(3)求數(shù)列的前項和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
某工廠用7萬元錢購買了一臺新機(jī)器,運(yùn)輸安裝費(fèi)用2千元,每年投保、動力消耗的費(fèi)用也為2千元,每年的保養(yǎng)、維修、更換易損零件的費(fèi)用逐年增加,第一年為2千元,第二年為3千元,第三年為4千元,依此類推,即每年增加1千元.問這臺機(jī)器最佳使用年限是多少年?并求出年平均費(fèi)用的最小值.(最佳使用年限佳是使年平均費(fèi)用最小的時間)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)定義在區(qū)間上,,且當(dāng)時,
恒有.又?jǐn)?shù)列滿足.
(1)證明:在上是奇函數(shù);
(2)求的表達(dá)式;
(3)設(shè)為數(shù)列的前項和,若對恒成立,求的最小值.
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