Question

15．已知函數(shù)y=f（x）滿足f（x-1）=2x+3a，且f（a）=7．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若g（x）=x•f（x）+λf（x）+x在[0，2]上最大值為2，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)配湊法即可求出函數(shù)的解析式，
（2）化簡g（x），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論即可求出λ的值，

解答 解：（1）f（x-1）=2x+3a=2（x-1）+3a+2，
則f（x）=2x+3a+2，
∵f（a）=7，
∴2a+3a+2=7，
解得a=1，
∴f（x）=2x+5，
（2）g（x）=x•f（x）+λf（x）+x=x（2x+5）+2λx+5λ=2x²+（6+2λ）x+5λ，
則其對稱軸為x=-$\frac{3+λ}{2}$，
當(dāng)-$\frac{3+λ}{2}$≤0時，即λ≥-3時，函數(shù)g（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，故g（x）_max=g（2）=9λ+20，
當(dāng)-$\frac{3+λ}{2}$≥2時，即λ≤-7時，函數(shù)g（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，故g（x）_max=g（0）=5λ，
當(dāng)0＜-$\frac{3+λ}{2}$≤1時，即-5≤λ＜-3時，g（x）_max=g（2）=9λ+20，
當(dāng)1＜-$\frac{3+λ}{2}$＜2時，即-7＜λ＜-5時，g（x）_max=g（0）=5λ，
故，當(dāng)λ≥-5時，g（x）_max=g（2）=9λ+20=2，解得λ=-2，
當(dāng)λ＜-5時，g（x）_max=g（0）=5λ=2，解的λ=$\frac{2}{5}$，舍去
綜上所述λ的值為-2

點評 本題考查了函數(shù)解析式的求法和二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵時分類討論，屬于中檔題．