（2012•日照一模）如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長和側(cè)棱長都是2，D是側(cè)棱CC1上任意一點，E是A1B1的中點．
（I）求證：A1B1∥平面ABD；
（II）求證：AB⊥CE；
（III）求三棱錐C-ABE的體積．
分析：（I）根據(jù)三棱柱的側(cè)面ABB1A1是平行四邊形，得A1B1∥AB，再結(jié)合線面平行的判定定理，可得A1B1∥平面ABD；
（II）取AB中點F，連接EF、CF．根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證出EF⊥AB，結(jié)合正△ABC中，中線CF⊥AB，所以AB⊥平面CEF，從而可得AB⊥CE；
（III）由三棱錐E-ABC與三棱柱ABC-A1B1C1同底等高，得三棱錐E-ABC的體積等于正三棱柱ABC-A1B1C1體積的
1
3
，求出正三棱柱ABC-A1B1C1體積，從而得出三棱錐E-ABC的體積，即得三棱錐C-ABE的體積．
解答：解：（I）∵三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1是平行四邊形
∴A1B1∥AB
又∵A1B1?平面ABD，AB⊆平面ABD，
∴A1B1∥平面ABD；
（II）取AB中點F，連接EF、CF
∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，
∴側(cè)面AA1B1B是矩形
∵E、F分別是A1B1、AB的中點，∴EF∥AA1，
∵AA1⊥平面ABC，AB⊆平面ABC，∴AA1⊥AB，可得EF⊥AB，
∵正△ABC中，CF是中線，∴CF⊥AB
∵EF∩CF=F，∴AB⊥平面CEF
∵CE⊆平面CEF，∴AB⊥CE；
（III）∵正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱長都為2
∴三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S△ABC×AA1=
3
4
×22×2=2
3

又∵三棱錐E-ABC與三棱柱ABC-A1B1C1同底等高
∴三棱錐E-ABC的體積VE-ABC=
1
3
VABC-A1B1C1=
2
3
3

因此三棱錐C-ABE的體積VC-ABE=VE-ABC=
2
3
3
．
點評：本題給出所有棱長都相等的正三棱柱，求證線面平行并求三棱錐的體積，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、線面平行的判定和柱體錐體的體積公式等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•日照一模）在如圖所示的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中點．
（1）求證：BD⊥EG；
（2）求平面DEG與平面DEF所成銳二面角的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•日照一模）給出下列四個命題：
①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；
②若0＜a＜1，則函數(shù)f（x）=x2+ax-3只有一個零點；
③函數(shù)y=sin(2x-
π
3
)的一個單調(diào)增區(qū)間是[-
π
12
，
5π
12
]；
④對于任意實數(shù)x，有f（-x）=f（x），且當x＞0時，f′（x）＞0，則當x＜0時，f′（x）＜0．
其中真命題的序號是
①③④
①③④
（把所有真命題的序號都填上）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•日照一模）已知定義在R上奇函數(shù)f（x）滿足①對任意x，都有f（x+3）=f（x）成立；②當x∈[0，
3
2
]時f(x)=
3
2
-|
3
2
-2x|，則f(x)=
1
|x|
在[-4，4]上根的個數(shù)是（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•日照一模）已知f（x）=
m
•
n
，其中
.
m
=(sinωx+cosωx，
3
cosωx)，
.
n
=(cosωx-sinωx，2sinωx)（ω＞0）．若f（x）圖象中相鄰的兩條對稱軸間的距離不小于π．
（I）求ω的取值范圍；
（II）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，a=
7
，S△ABC=
3
2
，當ω取最大值時，f（A）=1，求b，c的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•日照一模）給出下列四個命題：
①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；
②若0＜a＜1，則函數(shù)f（x）=x2+ax-3只有一個零點；
③函數(shù)y=2
2
sinxcosx在[-
π
4
，
π
4
]上是單調(diào)遞減函數(shù)；
④若lga+lgb=lg（a+b），則a+b的最小值為4．
其中真命題的序號是
①④
①④
（把所有真命題的序號都填上）．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案