Question

20．已知函數(shù)$f（x）=cos（\frac{2π}{3}x）+（a-1）sin（\frac{π}{3}x）+a，g（x）={2^x}-{x^2}$，若f[g（x）]≤0對x∈[0，1]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $（-∞，\sqrt{3}-1]$
• B． （-∞，0]
• C． [0，$\sqrt{3}$-1]
• D． $（-∞，1-\sqrt{3}]$

Answer 1

分析 令t=g（x），x∈[0，1]，則g′（x）=2^xln2-2x．設(shè)g′（x₀）=0，利用單調(diào)性可得：g（x）在x∈[0，1]上的值域?yàn)閇1，g（x₀）]，（g（x₀）=2x0-x02）．由f[g（x）]≤0對x∈[0，1]恒成立，可得$cos（\frac{2π}{3}t）$+（a-1）$sin（\frac{π}{3}t）$+a≤0，a≤2$sin\frac{π}{3}t$-1=h（t），t∈[1，g（x₀）]，即可得出．

解答 解：令t=g（x），x∈[0，1]，則g′（x）=2^xln2-2x
設(shè)g′（x₀）=0，則函數(shù)在[0，x₀]上單調(diào)遞增，在[x₀，1]上單調(diào)遞減，
g（x）在x∈[0，1]上的值域?yàn)閇1，g（x₀）]，（g（x₀）=2x0-x02＜2）．
∵f[g（x）]≤0對x∈[0，1]恒成立，
∴f（t）≤0，即$cos（\frac{2π}{3}t）$+（a-1）$sin（\frac{π}{3}t）$+a≤0，
a≤$\frac{sin\frac{πt}{3}-cos\frac{2πt}{3}}{1+sin\frac{πt}{3}}$=2$sin\frac{π}{3}t$-1=h（t），t∈[1，g（x₀）]，
則h（t）的最小值=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1=$\sqrt{3}$-1．
∴a≤$\sqrt{3}$-1．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、三角函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．