Question

20．已知函數$f（x）=cos（\frac{2π}{3}x）+（a-1）sin（\frac{π}{3}x）+a，g（x）={2^x}-{x^2}$，若f[g（x）]≤0對x∈[0，1]恒成立，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A． $（-∞，\sqrt{3}-1]$
• B． （-∞，0]
• C． [0，$\sqrt{3}$-1]
• D． $（-∞，1-\sqrt{3}]$

Answer 1

分析 令t=g（x），x∈[0，1]，則g′（x）=2^xln2-2x．設g′（x₀）=0，利用單調性可得：g（x）在x∈[0，1]上的值域為[1，g（x₀）]，（g（x₀）=2x0-x02）．由f[g（x）]≤0對x∈[0，1]恒成立，可得$cos（\frac{2π}{3}t）$+（a-1）$sin（\frac{π}{3}t）$+a≤0，a≤2$sin\frac{π}{3}t$-1=h（t），t∈[1，g（x₀）]，即可得出．

解答 解：令t=g（x），x∈[0，1]，則g′（x）=2^xln2-2x
設g′（x₀）=0，則函數在[0，x₀]上單調遞增，在[x₀，1]上單調遞減，
g（x）在x∈[0，1]上的值域為[1，g（x₀）]，（g（x₀）=2x0-x02＜2）．
∵f[g（x）]≤0對x∈[0，1]恒成立，
∴f（t）≤0，即$cos（\frac{2π}{3}t）$+（a-1）$sin（\frac{π}{3}t）$+a≤0，
a≤$\frac{sin\frac{πt}{3}-cos\frac{2πt}{3}}{1+sin\frac{πt}{3}}$=2$sin\frac{π}{3}t$-1=h（t），t∈[1，g（x₀）]，
則h（t）的最小值=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1=$\sqrt{3}$-1．
∴a≤$\sqrt{3}$-1．
故選：A．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、三角函數的單調性、恒成立問題等價轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．