Question

15．已知$\overrightarrow i$與$\overrightarrow j$為相互垂直的單位向量，$\overrightarrow a$=$\overrightarrow i$-2$\overrightarrow j$，$\overrightarrow b$=$\overrightarrow i$+λ$\overrightarrow j$，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}，+∞}$）
• B． （-∞，$\frac{1}{2}}$）
• C． （-∞，-2）∪（-2，$\frac{1}{2}}$）
• D． （-2，$\frac{2}{3}}$）∪（${\frac{2}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 由題意可得，$\overrightarrow{i}•\overrightarrow{j}$=0，再根據(jù)$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＞0且$\overrightarrow{a}$與 $\overrightarrow$不共線，求得實數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：知$\overrightarrow i$與$\overrightarrow j$為相互垂直的單位向量，$\overrightarrow a$=$\overrightarrow i$-2$\overrightarrow j$，$\overrightarrow b$=$\overrightarrow i$+λ$\overrightarrow j$，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為銳角，∴$\overrightarrow{i}•\overrightarrow{j}$=0，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=（$\overrightarrow{i}$-2$\overrightarrow{j}$）•（$\overrightarrow{i}$+λ$\overrightarrow{j}$）=${\overrightarrow{i}}^{2}$+（λ-2）$\overrightarrow{i}•\overrightarrow{j}$-2λ${\overrightarrow{j}}^{2}$=1-2λ＞0，
且$\overrightarrow{a}$與 $\overrightarrow$不共線，即$\frac{1}{1}$≠$\frac{-2}{λ}$，即λ≠-2．
綜上可得，實數(shù)λ的取值范圍為：λ＜$\frac{1}{2}$且λ≠-2，
故選：C．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量的夾角，兩個向量共線的性質(zhì)，屬于基礎題．