Question

20．在數(shù)列中，主要是兩大問題，一是：求數(shù)列的通項(xiàng)；二是：求和．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+a_n=2-$\frac{2}{{2}^{n}}$．
（1）寫出a₁，a₂，a₃，a₄的值（只寫結(jié)果），并猜想{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法，證明你的猜想是正確的．（這種求數(shù)列通項(xiàng)的方法，稱之為數(shù)學(xué)歸納法）

Answer 1

分析 （1）由S_n+a_n=2-$\frac{2}{{2}^{n}}$．（n∈N^*），分別令n=1，2，3，4，即可得出a₁，a₂，a₃，a₄．猜想a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
（2）檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立

解答 解：（1）∴S_n+a_n=2-$\frac{2}{{2}^{n}}$，
∴S₁+a₁=2-$\frac{2}{2}$，
∴a₁=$\frac{1}{2}$，
同理可得a₂=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，a₃=$\frac{3}{8}$，a₄=$\frac{4}{16}$=$\frac{1}{4}$，
猜想a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（i）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{1}{2}$成立；
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想成立，即a_k=$\frac{k}{{2}^{k}}$，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=S_k+1-S_k=-a_k+1+2-$\frac{2}{{2}^{k+1}}$+a_k-2+$\frac{2}{{2}^{k}}$，
∴2a_k+1=a_k+$\frac{1}{{2}^{k}}$=$\frac{k}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$=$\frac{k+1}{{2}^{k}}$，
∴a_k+1=$\frac{k+1}{{2}^{k+1}}$，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)猜想成立，
由（i），（ii）可知，對(duì)?n∈N*，a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推式、數(shù)學(xué)歸納法、觀察分析猜想歸納的能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．