Question

如圖，在三棱錐A-BCD中，側(cè)面ABD與底面BCD均為等腰三角形，∠BAD=∠BCD=90°，E為BD的中點，且AE⊥CE．
（Ⅰ）求證：AE⊥底面BCD；
（Ⅱ）若BD=2，求三棱錐A-BCD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用側(cè)面ABD為等腰三角形，E為BD的中點，證明AE⊥BD，根據(jù)AE⊥CE，利用線面垂直的判斷定理證明AE⊥底面BCD；
（Ⅱ）若BD=2，求出AE=CE=1，即可求三棱錐A-BCD的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵側(cè)面ABD為等腰三角形，E為BD的中點，
∴AE⊥BD，
∵AE⊥CE，BD∩CE=E，
∴AE⊥底面BCD；
（Ⅱ）解：∵BD=2，∠BAD=∠BCD=90°，
∴AE=CE=1，
∴V_A-BCD=

1

3

×

1

2

×2×1×1=

1

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，考查三棱錐A-BCD的體積，證明AE⊥底面BCD是關(guān)鍵．