Question

19．已知實數x、y滿足方程x²+y²-4x+1=0．
（1）求$\frac{y}{x}$的最大值和最小值；
（2）求x²+y²的最大值和最小值；
（3）若b=x+y，求b的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）整理方程可知，方程表示以點（2，0）為圓心，以$\sqrt{3}$為半徑的圓，設$\frac{y}{x}$=k，進而根據圓心（2，0）到y=kx的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值；
（2）x²+y²是圓上點與原點距離之平方，故連接OC，與圓交于B點，并延長交圓于C′，進而可知x²+y²的最大值和最小值分別為|OC′|和|OB|，答案可得；
（3）若b=x+y，則直線y=-x+b與圓（x-2）²+y²=3有公共點，進而利用點到直線的距離求得b的最大值和最小值．

解答 解：（1）方程x²+y²-4x+1=0表示以點（2，0）為圓心，以$\sqrt{3}$為半徑的圓．
設$\frac{y}{x}$=k，即y=kx，由圓心（2，0）到y=kx的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值．
由$\frac{|2k-0|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，解得k²=3．
∴${\frac{y}{x}}_{max}=\sqrt{3}$，${\frac{y}{x}}_{min}=-\sqrt{3}$；
（2）x²+y²是圓上點與原點距離之平方，故連接OC，與圓交于B點，并延長交圓于C′，可知B到原點的距離最近，點C′到原點的距離最大，
此時有OB=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2-$\sqrt{3}$，OC′=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$2+\sqrt{3}$，
則（x²+y²）_max=|OC′|²=7+4$\sqrt{3}$，（x²+y²）_min=|OB|²=7-4$\sqrt{3}$；
（3）若b=x+y，則直線y=-x+b與圓（x-2）²+y²=3有公共點，
∴由點到直線的距離公式，得$\frac{|-2+b|}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，即b=$2±\sqrt{6}$，
故$_{max}=2+\sqrt{6}$，b_min=2-$\sqrt{6}$．

點評 本題主要考查圓的方程的應用，把圓的一般方程化為圓的標準方程并會由圓的標準方程找出圓心坐標與半徑是解決本題的關鍵，是中檔題．